UNVOLLSTÄNDIGE VORABVERSION
aperitif
vorspeise: antike . kant . empirische positionen
hauptgericht: grundlagenkrise . formalismus . intuitionismus . mathematik ist politisch
nachspeise: die dritte schlussweise . tätigkeit mathematik

der rote faden

von mathematikphilsophie sollen von der antike bis ins 20. jahrhundert nachgezeichnet werden. der schwerpunkt wird dabei auf die ideen rund um die grundlagenkrise anfang des 20. jahrhunderts gelegt. wir wollen versuchen, sowohl historische blickwinkel, die akteur mit einbezieh , als auch ideengeschichtliche blickwinkel einzunehmen. abschliessend soll auf die tätigkeit, mathematik zu betreiben, geschaut werden.

exemplarisch an platon und aristoteles

platon

hintergründe

platon lebte 427-347 v. chr. daten sicher? in athen. in seiner jugend wurde er mit der lehre heraklits "wonach alles sinnliche sich in stetem flusse befindet und keine wissenschaftliche erkenntnis zulässt" (aristoteles in thiel 1982) bekannt gemacht. platon war nicht nur schüler des sokrates, sondern macht mit seinen dialogen dessen philosophie der nachwelt zugänglich. [nach] laut aristoteles war sokrates der erste, der in der untersuchung des sittlichen lebens nach allgemeinen begriffen suchte, und somit das "wissenschaftliche denken [...] seinen abschluss finden liess."

ideen

da im sich stetig wandelden sein nicht der bezugspunkt allgemeiner begriffe liegen könne, müssen die objekte des wissenschaftlichen verfahrens nach platon ausserhalb der sinnlichen welt liegen. diese objekte sind die ideen, sie sind unvergänglich und unveränderlich. alles seiende ist, weil es an einer entsprechenden idee teilhat. erkenntnis fusst ebenfalls auf der teilhabe an ideen. wir erkennen die gleichheit zweier gegenstände, weil sowohl die gegenstände, als auch wir an der idee der gleichheit teilhaben.

mathematische objekte

die mathematischen objekte liegen weder in der welt der sinnlich wahrnehmbaren gegenstände, noch in der welt der ideen. von den sinnlich wahrnehmbaren gegenständen unterscheiden sie sich dadurch, dass sie ewig und unveränderlich sind, von den ideen dadurch, dass sie "in einer unbestimmten vielheit gleichartiger exemplare existieren." (aristoteles in thiel 1982)

und nun?

die platonische sicht, dass mathematische gegenstände in einer eigenen, von uns unabhängigen welt existieren, vertreten heute noch viele mathematiker. nach leo corry (2004) wird die position "platonism on weekdays and formalism on sundays" beispielsweise (und erstaunlicherweise) auch von nicolas bourbaki vertreten.
warum ist das erstaunlich? vielleicht link hin irgendwo anders im text?

dialektik

gerade auch im rahmen von 'mathematik & text' scheint uns die dialogform, in der platon seine schriften verfasste interessant. [er setzt mit diesem dialektischen vorgehen nicht fertige erkenntnisse, sondern lässt den weg zur erkenntnis sichtbar werden.] denn er lässt den weg zur erkenntnis sichtbar werden, indem er mit diesem dialektischen vorgehen nicht fertige erkenntnisse setzt.
fragen nach wegen der erkenntnis, erkenntnisprozessen, sowie fragen nach praktikabilität, diese wege und prozesse für die rezipientinnen nachvollziehbar zu integrieren, stehen für uns im kontext 'mathematik & text' im mittelpunkt. .

aristoteles

empirie

der schüler platons lebte 384-322 v.chr. er stimmt mit platon über ein, dass sprache und denken erkenntnismittel sind. allerdings verortet er die objekte der erkenntnis nicht wie platon ausserhalb der sinnlich wahrnehmbaren welt, sondern nimmt eine empirische position ein. unsere sinne ermöglichen uns erkenntnis. allerdings können wir mit einem sinn immer nur einzelne eigenschaften der dinge erkennen, erst durch den "allgemeinsinn" können wir die wirklichkeit insgesamt erfassen.

logik

die formale logik geht auf aristoteles zurück. er formulierte drei grundgesetze der logik: das gesetz von der identität (a=a), das gesetz vom ausgeschlossenen widerspruch (eine aussage kann nicht zugleich wahr und falsch sein) und das gesetz vom ausgeschlossenen dritten (lat.: tertium non datur: jede aussage ist entweder wahr oder falsch).

immanuel kant

leben

immanuel kante lebte 1724-1804 in königsberg. zunächst studierte er an der königsberger universität theologie. da seine abschlussarbeit dort abgelehnt wurde, arbeitete er als hauslehrer. im alter von 33 jahren nahm er sein studium wieder auf. schon ein jahr später wurde er privatdozent in königsberg. im jahre 1770 wurde er dort zum professor berufen, vorher hatte er rufe nach jena und erlangen abgelehnt. weil seine religiösen schriften gedanken enthielten, die nicht mit der bibel vereinbar schienen, lag er beständig im konflikt mit der preussischen zensurbehörde, die ihm zwar das lehren weiterhin gestattete, ihn aber anwies, keine religiösen schriften zu verfassen.

analytisch vs. sythetisch

auf die umfassende philsophie kants kann hier (einerseits aus platz- und zeitmangel, andererseits aus wissensmangel) nicht weiter eingegangen werden.
nur soviel: urteile lassen sich nach kant in analytische und synthetische einteilen. analytische urteile sind solche, die aufgrund der in ihnen verwendeten begriffe wahr sind (z.b. alle junggesellen sind unverheiratet). synthetische urteile dagegen solche, die ihren wahrheitswert aufgrund des in ihnen enthaltenen bezugs zur welt erhalten (z.b. alle philosophen sind unverheiratet).

apriori vs. aposteriori

kant war der auffassung, dass allgemeingültiges, notwendiges wissen nicht aus der erfahrung herrühren kann. solches wissen muss a priori (vor aller erfahrung) sein, d.h. es kann nur durch sinnliche erkenntnis was ist das? und verstandeserkenntnis erworben werden. analytische urteile sind immer urteile a priori und beinhalten keine neue erkenntnis im eigentlichen sinne. synthetische urteile können auch a posteriori (erfahrungswissen) sein, als solche sind sie aber nicht allgemeingültig und notwendig.

mathematik

mathematische sätze sind für kant synthetische urteile a priori. dies ist möglich, weil nach kant raum und zeit apriorische anschauungen sind. auf dem raum als form des äusseren sinnes was ist das? beruht die geometrie und auf der zeit als form des inneren sinnes was ist das? beruht die arithmetik.

emprismus

die ursprünge des empirismus liegen in der englischen philsophie des 17. jahrhunderts. empiristen gehen davon aus, dass erkenntnis nur der erfahrung entspringen kann. in diesem sinne sind mathematische sätze sehr ellgemeine physikalische sätze. für john stuart mill (1806-1873) sind axiome verallgemeinerungen experimenteller wahrheiten.

physikalismus

für physikalisten existieren mathematische gegenstände in der physikalischen realität, oder haben zumindest den gleichen ontologischen status wie entitäten der theoretischen physik: elektronen können wir zwar nicht direkt sinnlich wahrnehmen, aber die annahme ihrer existenz lässt schlüssige erklärungen physikalischer phänomene zu.

logischer empirismus

der logische empirismus (logischer positivismus, neopositivismus), wie er vom wiener kreis u.a. vertreten wurde ist eine kombination aus empirismus und rationalismus. mathematische und logische sätze sagen als analytische sätze nichts über die welt aus. daneben gibt es basissätze, die ihre wahrheit aus sinneswahrnehmungen beziehen. mit basissätzen und analytischen sätzen lassen sich neue sätze bilden. damit lassen sich alle wissenschaftlichen aussagen zu einer einheitswissenschaft zusammenfassen.
meinst du tatsächlich alle wissenschaftlichen aussagen. und heißt dann die einheitswissenschaft mathematik bzw logik?

quasi-empirismus

der ungarische mathematiker, physiker und wissenschaftstheoretiker imre lakatos (1922-1974) postuliert, dass mathematische sätze genaus solange wahr sind, wie keine gegenbeispiele bekannt sind. und er findet beispiele als hieb- und stichfest bewiesen geglaubter sätze, zu denen später gegenbeispiele auftauchten. auf lakatos u.a. autoren in diese richtung werden wir später im seminar zurückkommen.

warum 'grundlagen'?

im 19. jahrhundert tauchten in vielen gebieten der mathematik unerwartete und rätselhafte phänomene auf: auch ohne das parallelenpostulat entstanden funktionierende geometrien, in der analysis fand man eine "monsterfunktion" nach der anderen (z.b. die "flächenfüllende" peano-kurve: eine stetige, surjektive abbildung vom einheitsintervall in das einheitsquadrat). als folge gab es mehrere versuche, die zugrunde liegenden mathematischen objekte zu bestimmen. richard dedekind und guiseppe peano gaben den zahlen ein fundament. hilbert führte die geometrie auf die arithmetik zurück (in folgendem sinne: er zeigte, dass die (von jeglicher anschauung entleerte und nur noch mit leeren begriffen hantierende) geometrie widerspruchsfrei ist, insofern die artithmetik widerspruchsfrei ist). georg cantor gründete die mengenlehre auf seiner intuitiven definition "eine menge ist eine zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher dinge unserer anschauung oder unseres denkens, welche elemente der menge genannt werden, zu einem ganzen." quelle?

logizismus I

gottlob frege wollte mit seinen werken "die grundlagen der arithmetik" (1884) und "grundgesetze der arithmetik" (1893 und 1903) die mathematik sicher in der logik verankern. aus seiner konstruktion ergab sich jedoch eine paradoxie, auf die ihn bertrand russell 1902 in einem brief hinwies (russelsche antinomie): enthält sich die menge aller mengen, die sich nicht selbst enthalten selbst? - diese frage lässt sich nicht ohne widerspruch beantworten.

die krise

logizismus II

mehrere wege wurden vorgschlagen, um diesem dilemma zu entkommen: russell und alfred north whitehead bauten in ihrem werk "principia mathematica" die arithmetik auf ihre typenlehre auf. damit umgingen sie zwar freges probleme, verhalfen dem logizismus aber dennoch nicht zum erfolg. sie mussten einige annahmen treffen, die problematisch und unter mathematikern höchst umstritten waren.
ernst zermelo, abraham fraenkel und thoralf skolem begründeten die mengenlehre axiomatisch, so wie wir sie heute kennen.
dennoch blieb die große frage: ist diese mathematik widerspruchsfrei und vollständig? also sind alle theoreme, die sich in formulieren lassen verifizierbar?

der traum ist aus

david hilbert war überzeugt, dass sich auf diese weise die gesamte bisherige mathematik einwandfrei begründen liess. er wollte sogar noch mehr: die widerspruchsfreiheit der arithmetik sollte mit mathematischen mitteln bewiesen werden. 1931 zerschlug kurt gödel diesen traum: er bewies (mit mitteln der arithmetik), dass jedes formale system, das die arithmetik umfasst, nicht gleichzeitig vollständig und widerspruchsfrei sein kann.

und nun?

glaubt man bettina heintz, so stören sich heute recht wenige menschen an gödels vernichtendem schlag. recht treffend finde ich ein zitat von andre weil: "gott existiert, weil die mathematik widerspruchsfrei ist, und der teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können."

als hauptvertreter des formalismus' finden hier david hilbert und nicolas boubaki erwähnung.

david hilbert

leben

hilbert wurde 1862 in königsberg geboren. dort lebte er bis er mit 33 jahren als ordinarius was ist das? nach göttingen berufen wurde. in göttingen blieb er bis zu seinem tod 1943. hilbert pflegte einen sehr kommunikativen wissenschaftsstil: ob während der gartenarbeit beim waldspaziergang oder essen. er mathematisierte mit studenten genauso wie mit kollegen, trotz des gesetzten standesdenken das ihm entgegenschlug.

axiome axiome meinst du doppelung hier wirklich?

hilbert wollte die mathematik auf axiome begründen. die axiome sollten dabei hypothetische grundannahmen sein, aus denen mittels logik die restlichen sätze geschlussfolgert werden können. das system was dabei entsteht muss zwei bedingungen erfüllen: widerspruchslosigkeit und vollständigkeit. d.h.: jedes in der mathematischen sprache ausdrückbare theorem soll verifizierbar sein und ein theorem darf nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
die axiome gründen auf keinerlei verständnis von wahrheit. sie werden einfach gesetzt. die vorstellung, die euklid in seinen elementen hatte, dass axiome selbstevidente wahrheiten sind, warf hilbert über bord. wahrheit existiert für ihn nur innerhalb der theorie: diejenigen sätze, die sich aus den axiomen logisch ableiten lassen sind wahr.
genauso ist die existenz mathematischer objekte immanent definiert. in den axiomen werden implizit bestimmte objekte (in der geometrie punkt, gerade, ebene) definiert. diese sind aber vollkommen abgekoppelt von jeder anschauung, die ihnen bis dahin zugrundelag. daher könnten sie genausogut auch liebe, gesetz und schornsteinfeger heissen, zwischen ihnen würden die gleichen beziehungen gelten, wie zwischen punkt, gerade und ebene. andere mathematische objekte existieren genau dann, wenn ihre existenz zu keinem widerspruch im axiomatischen system führt.
mir fehlt hier der spielgedanke. könnte das ganze glaub ich kompakter zusammenschnüren.

[die] axiomatische methode (hilbert)

innerhalb von theoriebildung kommen der mathematik nach hilbert zwei aufgaben zu: die progressive aufgabe ist es "ein system von relationen zu entwickeln und auf ihre logischen konsequenzen zu untersuchen" (natur und mathematisches erkennen. die rolle der voraussetzungen. s. 17) und die regressive aufgabe. diese besteht darin "den an hand von erfahrungen gebildeten theorien ein festes gefüge und eine möglichst einfache grundlage zu geben." (ebd.) durch klares herausarbeiten der voraussetzungen wird deutlich, welche impliziten voraussetzungen gemacht werden, welche konsequenzen und tragweite sie haben und was passiert, wenn auf die eine oder andere voraussetzung verzichtet wird.
am deutlichsten tritt die regressive aufgabe in der axiomatischen methode zu tage: die gegenstände eines wissensgebietes werden in begriffe (der theorie) und die tatsachen in logische beziehungen der begriffe übersetzt. dabei entsteht ein "fachwerk von begriffen" (ebd. s. 18). es stellt sich heraus, "dass einige ausgezeichnete sätze, deren anzahl meist sehr gering ist, der theorie als grundlage dienen, oder dienen können, derart, dass aus dieser grudlage ohne jede weitere annahme das ganze fachwerk mit rein logischen schlüssen aufgebaut werden kann. diese grundlegenden sätze heissen dann die axiome der betreffenden theorie." (ebd.)
die frage ob ein axiom ein axiom ist, splittet sich in zwei fragen auf: erstens in die frage, ob es überflüssig ist, sich also aus anderen axiomen ableiten lässt (parallelenpostulat) und zweitens in die frage, ob sich allgemeinere axiome finden lassen. dazu noch einmal hilbert (ebd. s. 19): "der fortschritt bei solcher beweisführung besteht darin, dass die fundamente der wissenschaft tiefer gelegt werden; [...] dieses tieferlegen der fundamente wird in dem masse nötig, als man das gebäude der wissenschaft höher baut."

beweistheorie (hilbert)

hilbert wollte sicherheit. sicherheit, dass sich in dem schönen neuen gebäude der mathematik keine widersprüche eingeschlichen haben. zunächst führte er einen relativen widerspruchsfreiheitsbeweis der geometrie. er hat der geometrie ein arithmetisches modell zugeordnet. wenn also ein widerspruch in der geometrie auftauchen sollte, so taucht er auch im arithmetischen modell und damit in der arithmetik auf. anders formuliert: die geometrie ist widerspruchsfrei, insofern es die arithmetik ist.
es blieb natürlich die widerspruchsfreiheit der arithmetik zu zeigen. dies gestaltete sich schwieriger, weil es (ausser der logik) keine rückführungsebene gab. wie dieser beweis geführt werden sollte, ohne sich dabei in einen gefährlichen zirkelschluss zu begeben (ein beweis der widerspruchsfreiheit mit mitteln, deren widerspruchsfreiheit gerade bewiesen werden sollte), skizzierte hilbert in seiner beweistheorie. zuerst sollte die gesamte (inhaltliche) mathematik axiomatisiert werden, und dann mit der "metamathematik" untersucht werden. die metamathematik bedient sich nur finiter metoden, "die auf rein anschaulichen überlegungen" beruhen. (zit. nach heintz (2000) s. 63) um die widerspruchsfreiheit der formalisierten inhaltlichen mathematik zu beweisen.
dass dieses unterfangen nicht gelingen konnte, zeigte kurt gödel 1931 mit seinem unvollständigkeitssatz.

wer ist nicolas bourbaki?

nicolas bourbaki ist eine gruppe und gemeinsames pseudonym von mathematikerinnen. sie haben es sich zur aufgabe gemacht, die mathematik formal aus der mengenlehre aufzubauen. ihre publikationen 'elemente der mathematik' werden in der gruppe kontrovers diskutiert und entwickelt. die elemente der mathematik, seit gründung 1935 bis heute 9 an der zahl, garnieren sie mit beispielen, die sie zwar fü hilfreich, aber nicht notwendig erachten.

axiomatische methode (bourbaki)

laut bourbaki ist die formale logik nur ein aspekt der axiomatischen methode. sie stellt die der mathematik angepasste sprache bereit, hat darüber hinaus aber keinerlei bedeutung.
die axiomatische methode ist vielmehr dazu da, mathematik "bis in die tiefe" (architektur der mathematik. in: christian thiel (1982). s. 290.) zu durchschauen. "da lehrt uns die axiomatische methode nach den gemeinsamen gründen einer solchen entdeckung zu suchen, die gemeinsamen ideen dieser scheinbar sehr verschiedenen theorien zu finden, die oft unter einer anhäufung von einzelheiten begraben sind, diese ideen hervorzuholen und ins richtige licht zu setzen." (ebd.)
folgendermassen geht die axiomatischen methode laut bourbaki vor: zuerst werden die "hauptsächlichen triebfedern" (ebd. s. 291) der argumente herausgeschält, diese dann abstrakt formuliert und ihre logischen kosequenzen entwickelt. danach kann wieder zur theorie zurückgekehrt werden und das zusammenspiel der "isolierten bestandteile" (ebd.) betrachtet werden.
(am beispiel der gruppentheorie:) aus der addition der rellen zahlen, der multiplikation der ganzen zahlen modulo einer primzahl und der verknüpfung von translationen des euklidischen raumes kann die gemeinsame idee "gruppe" herausgeschält werden. aus dieser abstrakten definition können viele logische schlüsse gezogen werden, die allesamt hinterher wieder auf die einzelnen theorien angewendet werden können, ohne dort eines gesonderten beweises zu bedürfen.
insofern: "ihr [der axiomatischen methode] auffallendstes merkmal ist, eine beträchtliche ökonomie des denkens zu entwickeln. [...] man könnte fast sagen, dass die nur auf die wesentlichen, nämlich strukturellen daten der probleme gerichtete axiomatische methode weiter nichts ist, als das 'taylorsystem' der mathematik." (ebd. s. 295)

die einheit der mathematik

"wir wollen nun versuchen, unter der führung der axiomatischen vorstellungsweise die ganze mathematische welt zu überblicken." (ebd. s.296) als "ordnungsprinzip" gibt bourbaki die matematischen strukturen an. bourbaki versteht unter einer struktur eine menge von nicht weiter spezifizierten elementen zusammen mit relationen zwischen diesen, die gewisse bedingungen erfüllen. diese bedingungen sind die axiome der struktur.
als die drei grossen strukturtypen bezeichnet bourbaki die algebraischen strukturen, strukturen, die durch eine ordnungsbeziehung gegeben sind und topologische strukturen. diese "mutterstrukturen" können durch zusätzliche axiome spezialisiert werden und daraus "eine fülle von neuen folgerungen" geschlossen werden.
"um diesen innersten kern herum erscheinen dann jene strukturen, die mehrfache strukturen genannt werden könnten." das sind strukturen, die mehrere mutterstrukturen enthalten, und zwar so, dass diese zusammenpassen (z.b. algebraische topologie).
in "speziellen theorien" werden die bis dahin nicht spezifizierten elemente charakterisiert. hier ordnet sich die klassische mathematik ein.
bourbaki räumt allerdings ein, dass diese sichtweise schematisch (nicht alles läuft so systematisch ab), idealisiert (nicht jedes ergebnis lässt sich so einordnen) und erstarrt ist. es soll nichts endgültiges dargestellt werden, im gegenteil aus veränderung der gegebenen strukturen und hinzunahme neuer strukturen erhofft sich bourbaki "bedeutenden fortschritt".
vielleicht dies irgendwie noch zusammenfassen. die bourbakianer nehmen eine art bestandsaufnahme vor, indem sie die die mathematik als untersxchiedliche strukturtypen auffassen und diese weiter verifizieren. im einzelnen: blabla und dann das einräumen?

programmatisch

nicolas mourbaki ging es aber nicht hauptsächlich um die theoretische ordnung der mathematik, sondern um die ganz praktische. es sollte ein werk (elemente der mathematik) entstehen, die die gesamte vorhandene reine mathematik stringent aus der mengenlehre aufbaut. jeder beweis sollte komplett aus dem bisher gesagten abgeleitet werden. bezüge zu anderer literatur wurden konsequent verbannt. ganz nebenbei hat bourbaki uns heute als selbstverständlich erscheinende terminologie eingeführt (z.b. die zeichen für die leere menge, die reellen zahlen, die begriffe injektiv und surjektiv und vieles anderes mehr). bis heute sind 9 bänder der elemente erschienen, von mengentheorie bis spektraltheorie.
im "wirklichen" mathematikerleben scheinen die bourbakis aber durchaus einen milderen standpunkt vertreten zu haben: "on foundations we believe in reality of mathematics, but of course, when philosophers attack us with their paradoxes, we run and hide behind formalism [...] finally we are left in peace to go back to our mathematics and do it as we have always done, working with something real." (dieudonne, zit. nach corry (2004))

axiomatische methoden

sowohl für bourbaki, als auch für hilbert geht es bei der axiomatischen methode darum, den innersten kern zu finden. hilbert kommt es darauf an, die tiefliegendsten aussagen (axiome) einer theorie herauszuarbeiten, um darauf die gesamte theorie aufbauen zu können. bourbaki dagegen zielt dauaf ab, für mehrere theorien, die auf den ersten blick nichts gemeinsam haben einen gemeinsamen kern aufzuspüren. hilbert geht es also eher um die sicherung des wissens, bourbaki um das finden innerer zusammenhänge und denkökonomien?. beide gehen natürlich davon aus, dass durch die axiomatische methode fortschritte erzielt werden, "das gebäude der wissenschaft höher" gebaut werden kann. quelle
für beide scheint jedoch die intuition ein wichtiger bestandteil methematischen arbeitens zu sein. so soll hilbert über einen ehemaligen schüler gesagt haben "er ist schriftsteller geworden, er hatte zu wenig fantasie." (www.mathematik.hu-berlin.de/~fsr/vl-gema1.html) und bourbaki schreibt in der "architektur der mathematik" (in: christian thiel (1982).s 295): "wir müssen vielmehr immer wieder die fundamentale rolle hervorheben, die im forschen des mathematikers jene eigentümliche, von gewöhnlichen sinnesanschauung ganz verschiedene art von intuition spielt, die aller eigentlichen verstandestätigkeit vorausgeht und die in dem richtigen erspüren des normalen verhaltens besteht, das er von einem mathematischen wesen glaubt, erwarten zu dürfen." (mit der fußnote: "wie jede intuition täuscht sich auch diese häufig.")

das anwendungsproblem

wenn nun die mathematischen konzepte völlig losgelöst von physikalischer realität entwickelt werden, stellt sich die frage, wieso sie so gut anwendbar sind. warum lassen sich naturwissenschaftliche phänomene (allen voran physikalische) in der sprache mathematik erklären?
laut bettina heintz (1993) verwies hilbert dazu "einigermassen kryptisch 'auf jene prästabilisierte harmonie, welche der mathematiker so oft in den fragestellungen, methoden und begriffen verschiedener wissensgebiete wahrnimmt.'"
bourbaki argumentiert ganz ähnlich. "gewisse aspekte der empirischen wirklichkeit" passen in formen aus der mathematischen "schatzkammer von abstrakten formen", als wären sie einander angepasst ("preadaption") (architektur der mathematik. in: christian thiel (1982). s. 300.). natürlich sind die formen ursprünglich anhand sehr konkreter anschauungen entwickelt worden, aber erst durch das abkoppeln von diesen, haben sie ihre gesamte (viel größere) bedeutung gewonnen. das eigentlich erstaunliche ist also, das mit dem prozess abstraktion - transfer - konkretion wieder anwendbare konzepte entstehen. "so zeigt sich am ende, dass diese innnige verbindung von mathematik und wirklichkeit, deren harmonische innere notwendigkeit wir bewundern sollten, nichts weiter war als eine zufällige berührung zweier disziplinen, deren wirkliche beziehungen viel tiefer verborgen sind, als a priori angenommen werden konnte." (ebd. s. 299f)
bourbaki möchte den begriff "formalismus" nur in diesem sinne gebraucht wissen. die interpretation, dass mathematik im formalismus nichts weiter ist, als zeichenmodulation mittels formaler logik, weist bourbaki weit von sich.

pragmatischer konstruktivismus
mathematikphilosophische position, die keine probleme mit dem zusammenhang von objekt- und beschreibungsebene aufweist?

eine aus textstellen gematchte zusammenfassung

pragmatischer konstruktivismus fasst die ebene der konstruktion und die der beschreibung (im sinne einer reflexiven darstellung) als unabdingliche aspekte einer gemeinsamen handlungsbasis auf. damit soll das problem umgangen werden, dass entweder die mathematische objektebene von ihrer beschreibung unabhängig gegebener oder konstruierter vorratsbereich mathematischer kreativität ist (platonismus, intuitionismus), oder, dass die beschreibungsebene mit der objektebene identifiziert wird (formalismus, das know-how der praktizierenden). dabei wird von heinzmann (heinzmann (1994), s. 113.) angemerkt, dass er nicht an einer rekonstruktion des mathematischen wissens interessiert ist. vielmehr möchte er den aspektwechsel, den er an dem problematischen übergang von objekt- zur beschreibungsebene vermutet, konstruktiv rekonstruieren.